Parallélogramme (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les trois points dont les affixes respectives sont données entre parenthèses :  $\text{A}(1+i),\text{B}(2-3i)$ et $\text{C}(-2-i)$ .

1. Calculer l'affixe du point $\text{D}$ tel que $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ soit un parallélogramme.

2. Calculer l'affixe du point $\text{E}$ tel que $\text{A}\text{E}\text{B}\text{C}$ soit un parallélogramme.

Solution

1. $\text{A}\text{B}\text{C}\text{D}$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}=\overrightarrow{\text{D}\text{C}}$ si et seulement si $z_{\overrightarrow{\text{A}\text{B}}}=z_{\overrightarrow{\text{D}\text{C}}}$ .
Or $z_{\overrightarrow{\text{A}\text{B}}}=z_{\text{B}}-z_{\text{A}}=(2-3i)-(1+i)=2-3i-1-i=1-4i$  
et $z_{\overrightarrow{\text{D}\text{C}}}=z_{\text{C}}-z_{\text{D}}=-2-i-z_{\text{D}}$ .
On a alors :  $z_{\overrightarrow{\text{A}\text{B}}}=z_{\overrightarrow{\text{D}\text{C}}}⟺1-4i=-2-i-z_{\text{D}}⟺z_{\text{D}}=-2-i-1+4i⟺z_{\text{D}}=-3-3i$
2. $\text{A}\text{E}\text{B}\text{C}$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{\text{A}\text{E}}=\overrightarrow{\text{C}\text{B}}⟺z_{\overrightarrow{\text{A}\text{E}}}=z_{\overrightarrow{\text{C}\text{B}}}$ $\overrightarrow{\text{A}\text{E}}=\overrightarrow{\text{C}\text{B}}⟺z_{\text{E}}-z_{\text{A}}=z_{\text{B}}-z_{\text{C}}⟺z_{\text{E}}=z_{\text{B}}-z_{\text{C}}+z_{\text{A}}$
Donc  $z_{\text{E}}=2-3i-(-2-i)+1+i=5-i$ .