Parallélogramme (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les trois points dont les affixes respectives sont données entre parenthèses :  \(\text A(1+i) , \text B(2-3i)\) et \(\text C(-2-i)\) .

1. Calculer l'affixe du point \(\text D\) tel que \(\text A\text B\text C\text D\) soit un parallélogramme.

2. Calculer l'affixe du point \(\text E\) tel que \(\text A\text E\text B\text C\) soit un parallélogramme.

Solution

1. \(\text A\text B\text C\text D\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{\text A\text B} = \overrightarrow{\text D\text C}\) si et seulement si \(z_{\overrightarrow{\text A\text B}} = z_{\overrightarrow{\text D\text C}}\) .
Or \(z_{\overrightarrow{\text A\text B}} = z_\text B - z_\text A = (2-3i)-(1+i)=2-3i-1-i=1-4i\)  
et \(z_{\overrightarrow{\text D\text C}} = z_\text C - z_\text D = -2-i -z_\text D\) .
On a alors :  \(z_{\overrightarrow{\text A\text B}} = z_{\overrightarrow{\text D\text C}} \iff 1-4i = -2-i -z_\text D \iff z_\text D = -2-i -1+4i \iff z_\text D = -3-3i\)
2. \(\text A\text E\text B\text C\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{\text A\text E} = \overrightarrow{\text C\text B} \iff z_{\overrightarrow{\text A\text E}} = z_{\overrightarrow{\text C\text B}}\) \(\overrightarrow{\text A\text E} = \overrightarrow{\text C\text B} \iff z_\text E - z_\text A = z_\text B - z_\text C\iff z_\text E = z_\text B -z_\text C + z_\text A\)
Donc  \(z_\text E = 2-3i -(-2-i) + 1+i = 5-i\) .